In fizica si in matematica, teoria haosului descrie comportamentul unor sisteme neliniare dinamice, care in anumite conditii prezinta o dinamica sensibila la conditiile initiale (cunoscut pe larg sub numele de "Butterfly effect" - efectul fluturelui). Ca rezultat al acestei sensibilitati, comportamentul sistemelor haotice pare a fi aleator, din cauza unei cresteri exponentiale de erori in conditiile initiale. Asta se intampla cu toate ca aceste sisteme sunt deterministe in sensul ca dinamica lor viitoare este bine definita de conditiile lor initiale si nu sunt implicate elemente aleatoare. Acest comportament este cunoscut sub numele de haos deterministic, sau mai simplu, haos.
Comportamentul haotic a fost observat in laborator la o varietate de sisteme printre care circuite electrice, lasere, reactii chimice oscilante, dinamica fluidelor, dispozitive mecanice si magneto-mecanice. Observarea comportamentului haotic in natura include dinamica satelitilor in sistemul solar, evolutia in functie de timp a campurilor magnetice ale corpurilor ceresti, cresterea populatiei in ecologie, dinamica potentialului de actiune in neuroni si vibratii moleculare. Exemple de sisteme haotice din viata de zi cu zi includ vremea si clima. Sunt unele controverse legate de existenta sistemelor dinamice haotice in miscarile placilor tectonice si in economie. Sisteme care prezinta haos matematic sunt deterministe si prin urmare ordonate intr-un anumit fel. Aceasta utilizare tehnica a cuvantului "haos" este in conflict cu limbajul uzual in care acesta sugereaza o dezordine totala. Un domeniu inrudit al fizicii, numit teoria haosului cuantic (fizica cuantica) studiaza sistemele nondeterministice care urmeaza legile mecanicii cuantice. Pe langa faptul ca sunt ordonate, in sensul ca sunt deterministe, sistemele haotice au de regula statistica bine definita. Spre exemplu, sistemul Lorenz (imaginea alaturata), este haotic, dar are o structura bine definita.
Pentru ca un sistem dinamic sa fie clasificat drept haotic, majoritatea oamenilor de stiinta sunt de acord ca trebuie sa aiba urmatoarele proprietati: -trebuie sa fie sensibil la conditiile initiale, -trebuie sa fie combinabil topologic, -trebuie sa aiba orbite periodice dense. Sensibilitatea pentru conditiile initiale inseamna ca fiecare punct intr-un asemenea sistem este in mod arbitrar usor aproximat cu alte puncte care au traiectorii viitoare semnificativ diferite. Prin urmare, o mica perturbatie arbitrara a traiectoriei curente ar putea sa conduca la un comportament semnificativ diferit in viitor. Sensibilitatea la conditiile initiale este cunoscuta pe larg sub numele de "butterfly effect" - efectul fluturelui, denumita astfel dupa titlul unei lucrari data de Edward Lorenz in 1972 Asociatiei Americane pentru Avansarea Stiintei in Washington, D.C., intitulata "Predictability: Does the Flap of a Butterfly's Wings in Brazil set off a Tornado in Texas?" (Predictabilitate: Bataia aripilor unui fluture in Brazilia declanseaza o tornada in Texas?). Bataia aripilor reprezinta o schimbare mica in starea initiala a sistemului, ceea ce determina un lant de evenimente ce conduc la un fenomen de amploare. Daca fluturele nu ar fi batut din aripi, traiectoria sistemului ar fi putut fi foarte diferita. Sensibilitatea la conditiile initiale este deseori confundata de catre oameni cu haosul. Poate de asemenea sa fie o proprietate subtila, din moment ce depinde de sistemul de masura ales sau de notiunea de distanta in spatiul faza al sistemului. Spre exemplu, considerati un sistem dinamic simplu produs de dublarea repetata a unei valori initiale (definit prin marcarea pe axa numerelor reale de la x la 2x). Acest sistem are dependenta sensibila fata de conditiile initiale peste tot, din moment ce orice pereche de puncte apropiate vor deveni in cele din urma foarte distantate. Cu toate acestea, are un comportament extrem de simplu, din moment ce toate punctele cu exceptia originii tind la infinit. Daca, in schimb, folosim spatiul stabilit al liniei obtinuta prin adaugarea originii la infinit si vizualizarea rezultatului ca un cerc, sistemul nu mai este sensibil la conditiile initiale. Din aceasta cauza, in definirea haosului, atentia/gandirea este de regula limitata la folosirea unor spatii stabilite (limitate) sau inchise, subseturi nevariabile stabilite (limitate) ale unor sisteme infinite. Combinarea topologica presupune ca sistemul va evolua in timp astfel incat orice regiune sau set deschis din spatiul fazei se va suprapune eventual peste oricare alta regiune. Aici combinarea are sensul propriu. Un exemplu de sistem haotic este amestecul mai multor substante colorate.
Unele sisteme dinamice sunt haotice oriunde (ex: difeomorfismele Anosov), dar in majoritatea cazurilor, comportamentul haotic se regaseste doar intr-un subset al spatiului de faza. Cele mai interesante cazuri apar atunci cand comportamentul haotic are loc pe un atractor, avand in vedere ca setul initial de conditii va duce spre orbite care converg in regiunea haotica respectiva. O modalitate usoara de a vizualiza un atractor haotic este de a izola un punct din bazinul de atractie, urmat de reprezentarea orbitei ulterioare. Datorita tranzitivitatii topologice este probabil sa se produca o imagine a atractorului in intregime. Spre exemplu, intr-un sistem ce descrie miscarea unui pendul, spatiul de faza poate fi bi-dimensional, cuprinzand informatii despre pozitie si viteza. Pozitia unui pendul ar putea fi reprezentata in functie de viteza. Un pendul in repaus s-ar reprezenta ca un punct, iar unul in miscare periodica va desemna o curba inchisa simpla. Cand se formeaza curbe inchise ele se numesc orbite, iar un pendul poate avea un numar infinit de astfel de orbite, formand o familie de elipse.
In timp ce majoritatea tipurilor de miscare prezentate pana acum definesc atractori foarte simpli precum punctele fixe sau elipsele, miscarea haotica formeaza si atractori stranii care au detaliu si complexitate foarte ridicata. Un exemplu ar fi un model tri-dimensional al sistemului Lorenz care defineste celebrul atractor Lorenz. Atractorul Lorenz se numara printre cele mai cunoscute diagrame ale sistemelor haotice nu numai pentru ca a fost printre primele studiate dar si pentru complexitatea sa ridicata care desemneaza forma aripilor unui fluture. Un alt atractor celebru este Harta Rössler care prezinta o miscare periodica dubla. Atractorii stranii apar atat in sisteme dinamice continue (Lorenz), cat si in sisteme discrete (precum Harta Henon). Alte sisteme discrete au o structura numita “set Julia” care se formeaza la granita dintre bazinele de atractie ale unui punct fix. Atat atractorii stranii in general cat si seturile Julia prezinta o structura de fractal. Teorema Poincaré-Bendixson prezinta modul in care un atractor straniu se poate naste doar in sisteme dinamice continue cat timp are 3 sau mai multe dimensiuni. Totusi, aceasta restrictie nu se aplica sistemelor discrete ce pot expune atractori stranii in 2 sau chiar un singur sistem dimensional. Conditiile initiale a 3 sau mai multor corpuri aflate in interactiune datorita atractiei gravitationale pot fi aranjate incat sa aiba loc o miscare haotica.
Primul care a descoperit haosul este Jacques Hadamard, care in 1898 a publicat un studiu al miscarii haotice a unei particule libere care gliseaza pe o suprafata cu spatiu de curbura negativ. In sistemul studiat, Hadamard a reusit sa demonstreze ca toate traiectoriile sunt instabile si ca ele difera exponential una fata de alta cu exponentul pozitiv al lui Lyapunov. La inceputul anilor 1900 Henri Poincaré, in timp ce studia problema celor 3 corpuri, a descoperit ca pot exista orbite care sa nu fie periodice si totusi nu crescatoare pentru totdeauna si nici apropiindu-se de un punct fix. O mare parte a teoriei a fost dezvoltata aproape in totalitate de matematicieni, sub numele de teoria ergotica. Studii mai recente, cu tema “ecuatii diferentiale neliniare”, au fost facute de G. D. Birkhoff, A.N. Kolmogorov, M.L. Cartwirght, J.E. Littlewood si Stephen Smale. Exceptand pe Smale, toti ceilalti s-au inspirat din fizica (problema celor 3 corpuri – Birkhoff, turbulentele si problemele astronomice – Kolmogorov si ingineria radio - Cartwright si Littlewood). Desi miscare planetara, haotica, nu a fost observata, cercetatorii au intalnit turbulente in miscarea fluidelor si oscilatii neperiodice in circuitele radio, fara a beneficia de o teorie care sa le explice ceea ce vad. Teoria haosului a progresat mai rapid dupa jumatatea secolului, cand a devenit evident pentru anumiti cercetatori ca teoria sistemelor liniare, sistemul predominant al teoriei, in acea perioada, nu putea explica comportamentul observat la experimentele de genul cartografierii polinomiale. Catalizatorul principal al teoriei haosului a fost computerul. Multe dintre teoriile matematice ale haosului implica numeroase repetitii cu formule matematice simple, lucru incomod de facut manual. Astfel, ENAC, unul dintre primele calculatoare rula programe simple de prognoza meteorologica. Un pionier al teoriei a fost Edward Lorenz, al carui interes pentru haos a aparut accidental in timp ce lucra la o prognoza meteo in 1961. Lorenz folosea un computer de tip Royal McBee LGP-30 pentru a rula un simulator meteorologic. A vrut sa vada o parte din date inca o data si pentru a economisi timp a rulat programul de la mijlocul simularii pe care o calculase inainte. Surpriza lui a fost ca vremea pe care o prezicea computerul de aceasta data era complet diferita fata de cea calculata inainte. Lorenz a imprimat rezultatele folosind variabile cu 3 zecimale, dar calculatorul a lucrat cu variabile de 6 zecimale. Totusi Lorenz a descoperit ca aceasta diferenta care nu trebuia sa aiba nici un efect, ajungea sa aiba un efect radical. Independent, Yoshisuke Ueda a descoperit un fenomen haotic asemanator utilizand un calculator analog pe 27 noiembrie 1961. Haosul manifestat de un calculator analog este cu adevarat un fenomen natural in comparatie cu cele descoperite la computere digitale. Profesorul supraveghetor al lui Ueda nu a crezut niciodata in haos, de aceea Ueda nu a putut publica descoperirile pana in 1970. Termenul de “haos” utilizat in matematica a fost introdus de matematicianul James A. Yorke. Accesul mai usor la computere performante a dus la aplicabilitatea teoriei haosului. In prezent teoria haosului continua sa fie un domeniu activ de cercetare.
Teorema lui Sarkovskii reprezinta baza afirmatiei lui Li si Yorke (1975) ce atesta faptul ca orice sistem uni-dimensional care prezinta un ciclu regulat al celei de a treia perioade va desemna si toate ciclurile regulate de lungimi diferite, cat si orbite complet haotice. Matematicienii au expus numeroase moduri de a face afirmatii cantitative despre sistemele haotice printre care se numara: dimensiunea fractala a atractorului, exponentii Lyapunov, harti Poincaré, diagrame de bifurcatie si operatoare de transfer.
Sistemele simple pot produce haos fara sa depinda de ecuatii diferentiale. Un exemplu ar fi harta logistica care este o relatie de recurenta ce descrie cresterea populatiei in raport cu timpul. Pana si evolutia unor sisteme discrete simple precum automatoanele celulare pot fi strans legate de conditiile initiale. Stephen Wolfram a investigat un automaton cu aceasta proprietate si a definit “regula 30”.
Teoria haosului este aplicata in multe stiinte: matematica, biologie, meteorologie, calculatoare, economie, inginerie, finante, filozofie, fizica, politica, dinamica populatiilor, psihologie si robotica. Teoria haosului este de asemenea folosita in studiul epilepsiei pentru a prezice crizele aparent intamplatoare prin observarea conditiilor initiale.